By Siegmund Brandt

ISBN-10: 3658100680

ISBN-13: 9783658100681

ISBN-10: 3658100699

ISBN-13: 9783658100698

Diese kompakte Einführung enthält die wichtigsten Grundlagen der mathematischen Statistik, die Beschreibung von Messungen und deren Fehler als Ergebnisse von Stichproben und die Methode der kleinsten Quadrate, angewandt auf verschieden schwierige konkrete Beispiele. Zusätzlich werden kurze Hinweise auf weitere Verfahren der Datenanalyse gegeben.

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1 Die Rechnung lässt sich von Hand durchführen und ist in [DA], Abschn. 3, wiedergegeben. Wir beschränken uns hier auf die graphische Darstellung der Ergebnisse in Abb. 1. Die Messungen yj sind als Funktionen der Variablen t gezeichnet. Die senkrechten Balken deuten die Messfehler an. Sie erstrecken sich über den Bereich yj ± σj . Die eingezeichnete Gerade entspricht dem Ergebnis x1 , x2 . Die verbesserten Messungen liegen auf dieser Geraden. Sie sind in Abb. 1b zusammen mit den Restfehlern ηj eingezeichnet.

XN ist die Likelihood dann proportional zu dem Produkt L = f (x1 , λ)f (x2 , λ) · · · f (xN , λ). Der Parameter λ wird nun so bestimmt, dass die Likelihood-Funktion L (oder – gleichbedeutend – ihr Logarithmus = ln L) maximal wird. Das Verfahren kann leicht auf mehrere Messgrößen und Parameter ausgedehnt werden, vgl. [DA], Kap. 7. Im Rechner wird statt des Maximums von das Minimum von − bestimmt. In [DA], Kap. 10, werden Algorithmen der Minimierung an Hand von Beispielen beschrieben. 2 Bestimmung unsymmetrische Fehler Messfehler sind nicht immer symmetrisch.

3 25 Indirekte Messungen. Nichtlinearer Fall Im Allgemeinen hängt die anzupassende Funktion nicht nur linear von den unbekannten Parametern ab. Wir haben dann die Ausgangsgleichungen fj (x, η) = ηj − hj (x) = 0 , j = 1, 2, . . , n . Wir können diesen Fall jedoch auf den linearen zurückführen, wenn wir die fj nach Taylor entwickeln und die entstandene Reihe nach dem ersten Glied abbrechen. Wir führen die Reihenentwicklung an dem „Punkt“ x0 = (x10 , x20 , . . , xr0 ) durch, der eine erste Näherung der Unbekannten darstellt, die man sich auf irgendeine Weise verschafft hat, fj (x, η) = fj (x0 , η) + Definieren wir jetzt ∂fj ∂x1 (x1 − x10 ) + · · · + x0 ⎛ x1 − x10 ∂fj ∂xr (xr − xr0 ) .

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Analyse empirischer und experimenteller Daten: Ein kompakter Überblick für Studierende und Anwender by Siegmund Brandt


by John
4.1

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